{x>0
{x ≠ 1
{5-x>0 ⇒ x < 5
{5-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 4
[red]x ∈ (0;1)U(1;4)U(4;5)[/red]
В условиях ОДЗ:
[m]\frac{1}{log_{5-x}x}=log_{x}(5-x)[/m]
Неравенство принимает вид:
x^2*log_(x)(5-x)-(5x-4)log_(x)(5-x) ≤ 0
log_(x)(5-x)*(x^2-5x+4) ≤ 0
Применяем метод интервалов:
x^2-5x+4=0
D=25-24=1
x=1; x=4
[u]x^2-5x+4 ≥ 0[/u] на [u](0; 1) и на (4;5)[/u]
x^2-5x+4 ≤ 0 на (1;4)
log_(x)(5-x)=0 ⇒ 5-x=1;
x=4
log_(x)(5-x) ≥ 0 по методу рационализации ⇔ (х-1)(5-х-1) ≥ 0 ⇒
(х-1)(х-4) ≤ 0
на (1;4)
[u]log_(x)(5-x) ≤ 0[/u] по методу рационализации ⇔ (х-1)(5-х-1) ≤ 0 ⇒
(х-1)(х-4) ≥ 0
[u]на (0; 1) и на (4;5)[/u]
Замечаем, что на (0;1); (1;4) и (4;5)
множители имеют противоположные знаки.
Значит на этих промежутках произведение отрицательно.
Равенство в точках 1 и 4, но они не входят в ОДЗ
О т в е т. (0;1)U(1;4)U(4;5)