а) Докажите, что BP:PQ=1:3
б) Найдите двугранный угол пирамиды при ребре SB, если SB=BC.
Диагонали прямоугольника [i]равны[/i] и в точке пересечения делятся [i]пополам[/i]
АО=ВО=СО=DO
SO ⊥ пл. АВСD
АО - проекция SA.
Значит SA=SB=SC=SD ( равные проекции имеют равные наклонные)
[b]a) [/b]Δ SAB - равнобедренный (SA=SB)
По условию AP ⊥ SB
Проведем SF ⊥ АВ.
Пусть АВ=x
AF=FB=x/2
Δ SFB ∼ APB ( они прямоугольные и ∠ B - общий )
Из подобия пропорциональность сторон:
ВР: AF=AB:SA ⇔ [b]BP=x^2/(2SA)[/b]
Аналогично,
Δ SBС - равнобедренный (SВ=SС)
По условию СQ ⊥ SB
Проведем SК ⊥ ВС.
Пусть ВС=2АВ=2x
ВК=КС=x
Δ SKB ∼ CQB ( они прямоугольные и ∠ B - общий )
Из подобия пропорциональность сторон:
ВQ: BK=BC:SB ⇔ [b]BQ=2x^2/(SB)[/b]
[b]SA=SB[/b]
[red]BP:BQ=1:4[/red] ⇒ BP:PQ=1:3
О т в е т. [b]a) BP:PQ=1:3[/b]
[b]б)[/b]
В треугольнике SBC проведем
PM || CQ
CQ ⊥ SB ⇒ PM ⊥ SB
∠ APM -[i] линейный угол [/i]двугранного угла при ребре SB
Найдем его из треугольника АРМ.
Для этого найдем стороны треугольника АРМ.
По условию б) SB=BC
ВС=2х, SB=2x
Δ SBC - равносторонний, высота CQ - медиана
BQ=QS=x
CQ=2xsqrt(3)/2=xsqrt(3)
(высота равностороннего треугольника со стороной а равна a*sqrt(3)/2 )
Δ ВМР ∼ ВQC (PM || CQ)
BP: BQ=BM:BC
[red]BP:BQ=1:4[/red] ⇒ BM[/b]=BC/4=x/2
[b]PM[/b]=CQ/4=[b]xsqrt(3)/4[/b]
Из прямоугольного Δ АВМ:
АМ^2=AB^2+BM^2=x^2+(x^2/4)=5x^2/4
[b]AM=x*sqrt(5)/2[/b]
Из прямоугольного Δ АРВ ( АВ=х; BP=(1/4)BQ=x/4)
АР^2=AB^2-BP^2=x^2-(x/4)^2=15x^2/16
[b]AP=xsqrt(15)/4[/b]
Итак, по теореме косинусов из Δ АРМ
сos ∠ APM=(AP^2+PM^2-AM^2)/(2*AP*PM)
AP=xsqrt(15)/4
PM=xsqrt(3)/4
AM=x*sqrt(5)/2
сos ∠ APM=-sqrt(5)/15
[b]∠ APM=arccos(-sqrt(5)/15)[/b]