Задача 43458 ...

saklethil

2020-01-17 09:22:17

11(4). Найдите все значения a, при каждом из которых

a) неравенство
[m]\frac{\log_2 x + 3 \sqrt{3} \log_x 2 - 6 - a}{a - (2 \sin \sqrt{x - 4} - 4)} \leq 0[/m] не имеет решений.

б) решением неравенства
[m]\frac{\log_2 x + 3 \sqrt{3} \log_x 2 - 6 - a}{a - (2 \sin \sqrt{x - 4} - 4)} \leq 0[/m] является промежуток [4; +∞).

sova

2020-01-17 11:31:13

★

Область определения:
{x>0; x ≠ 1
{x-4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4

ОДЗ: x ∈ [4;+ ∞ )

Дробь меньше или равна 0, когда числитель и знаменатель имеют противоположные знаки.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
[m]\left\{\begin{matrix} log_{2}x+3\sqrt{3}log_{x}2-6-a\geq 0\\ a-(2sin\sqrt{x-4}-4)<0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} log_{2}x+3\sqrt{3}log_{x}2-6-a\leq 0\\ a-(2sin\sqrt{x-4}-4)>0 \end{matrix}\right.[/m]

Второе тригонометрическое неравенство в первой системе

[m]a-(2sin\sqrt{x-4}-4)<0 \Rightarrow sin\sqrt{x-4}>\frac{a+4}{2}[/m]

Неравенство не имеет решений при
[m]\frac{a+4}{2} ≥ 1[/m] ⇒ a ≥ -2

Значит и вся система не имеет решений при a ≥ -2

Второе тригонометрическое неравенство во второй системе

[m]a-(2sin\sqrt{x-4}-4)>0 \Rightarrow sin\sqrt{x-4}<\frac{a+4}{2}[/m]

Неравенство не имеет решений при
[m]\frac{a+4}{2} ≤ -1[/m] ⇒ a ≤ -6

Значит и вся система не имеет решений при a ≤ -6

[b]При -6 < a < -2[/b] второе неравенство имеет решения, но тогда проверим, будет ли первое неравенство хотя бы в одной системе иметь решения