Задача 35475 y' + (1/x) y = e^(x^2) , y(1) =...

leronmarkevich

2019-04-07 14:19:09

y' + (1/x) y = e^(x^2) , y(1) = e/2

sova

2019-04-07 14:28:53

★

Линейное, первого порядка
Решают методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли.
В любом случае приходится решить два уравнения с разделяющимися переменными.

Метод Бернулли.
Решение y представлено в виде произведения двух [b]произвольных [/b]функций.

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:

u`*v+u*v`+(1/x)*u*v=e^(x^2)

u`*v+u*(v`+(1/x)*v)=e^(x^2)


Функцию v=v(x) выбирают так, чтобы

[b]v`+(1/x)*v=0[/b]

тогда

[b]u`*v+u*0=e^(x^2)[/b]


Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными:
v`+(1/x)*v=0

dv/v=-dx/x

ln|v|=-ln|x|

[b]v=(1/x)[/b]

Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными:

u`*(1/x)=e^(x^2)

u`=xe^(x^2)

u=(1/2)e^(x^2)+C

Общее решение: y=((1/2)e^(x^2)+C)*(1/x) можно раскрыть скобки.

Так как
y(1)=e/2
найдем частное решение:

e/2=(1/2)e^(1)+C*1

C=0

y=((1/2)e^(x^2))*(1/x) - частное решение