Задача 34764 Решите неравенство log2(8x^2) + 2log2x...

vk411719339

21 марта 2019 г. в 17:58

Решите неравенство

log₂(8x²) + 2log₂x + 12 ...

sova

21 марта 2019 г. в 18:12

ОДЗ:
{8x²>0 ⇒ x ≠ 0
{x>0
{x/2 > 0 ⇒ x>0

(0;+ ∞ )

Так как
log₂(8x²)=log₂8+log₂x²=
=3+2log|x|=(согласно ОДЗ: x>0 и |x|=x)=3+2log_x

log₂(x/2)=log₂x–log₂2=log₂x–1
log²₂(x/2)=(log₂x–1)²=log₂x–2log₂x+1

Замена переменной
log₂x=t

Неравенство принимает вид:
(3+2t+2t+12)/(t²–2t+1–16) ≥ –1;

(4t+15)/(t²–2t–15) + 1 ≥ 0

(4t+15+t²–2t–15)/(t²–2t–15) ≥ 0

(t²+2t)/(t²–2t–15) ≥ 0

t²+2t=t·(t+2)

t²–2t–15=(t+3)(t–5)
D=4+60=64
корни (–3) и 5

Решаем методов интервалов

_+__ (–3) _–__ [–2] __+_ [0] __–__ (5) __+__

t < –3 или –2 ≤ t ≤ 0 или t > 5

Обратный переход

log₂x < –3 или –2 ≤log₂x ≤ 0 или log₂x> 5

log₂x <log₂(1/8) или log₂(1/4) ≤log₂x ≤ log₂1 или log₂x> log₂32

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

x <1/8 или 1/4 ≤log₂x ≤1 или x> log₂32

С учетом ОДЗ получаем ответ.
(0;1/8) U [1/4;1] U (32;+ ∞ )