Задача 32793 1) [m] 2 \log_{\left( {4 x - x^2 -...

vk147847869

2019-01-18 13:27:26

1) [m] 2 \log_{\left( {4 x - x^2 - 5}^{2} \right)} \left( {4 x^2 + 1} \right) \leq \log_{\left(x^2 - 4 x + 5 \right)} \left( {3 x^2 + 4 x + 1} \right) [/m]

3) [m] \log_{0.5}^{2} \left( {4 x} \right) \cdot \log_{0.25} \left( {0.25 x} \right)^2 \leq \log_{0.5} 5 \cdot \log_5 \frac{x}{4} [/m]

sova

2019-01-18 18:36:47

1.
2log_((4x-x^2-5)^2)(4x^2+1) ≤ log_(x^2-4x+5)(3x^2+4x+1);

(4x-x^2-5)^2=(x^2-4x+5)^2

и по свойству логарифма:

log_(b^2)a=(1/2)log_(b)a, a>0; b> 0, получаем неравенство

[b]log_(x^2-4x+5)(4x^2+1) ≤ log_(x^2-4x+5)(3x^2+4x+1);[/b]

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(cм. таблицу)
(можно конечно рассматривать совокупность двух систем
в 2-х случаях
а) когда логарифмическая функция возрастает, основание >1 ;
б) когда логарифмическая функция убывает

{x^2-4x+5>0;
{x^2-4x+5 ≠ 1;
{4x^2+1>0
{3x^2+4x+1> 0
{(x^2-4x+5-1)(4x^2+1-3x^2-4x-1) ≤ 0

{неравенство верно при любом х;
{x ≠ 2
{неравенство верно при любом х;
{D=16-4*3*1=4, корни (-1) и (-1/3) ⇒ x < -1 или х > (-1/3)
{(x-2)^2*(x^2-4x) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 4
О т в е т. [0;2)U(2;4]

3.
ОДЗ:
x > 0

При х>0
log_(0,5)(4x)=log_(0,5)4+log_(0,5)x=-2+log_(0,5)x

log^2_(0,5)(4x)= (-2+log_(0,5)x)^2=4-4log_(0,5)x+log^2_(0,5)x

log_(0,25)(0,25x)^2=log_(0,5^2)(0,25x)^2=log_(0,5)(0,25x)=
=log_(0,5)(0,25)+log_(0,5)x=2+log_(0,5)x

log_(0,5)5*log_(5)(x/4)=log_(0,5)(x/4)=log_(0,5)x-log_(0,5)4=
=log_(0,5)x+2

получаем неравенство
(4-4log_(0,5)x+log^2_(0,5)x)*(2+log_(0,5)x) ≤ (2+log_(0,5)x)
(4-4log_(0,5)x+log^2_(0,5)x)*(2+log_(0,5)x) - (2+log_(0,5)x) ≤ 0

(2+log_(0,5)x) * ( 4 - 4 log_(0,5)x+log^2_(0,5)x - 1 ) ≤ 0

(t+2)*(t^2-4t+3) ≤ 0

__-__ (-2) __+__ [1] ___-___ [3] ___+___

t < - 2 или 1 ≤ t ≤ 3

log_(0,5)x < -2 или 1 ≤ log_(0,5)x ≤ 3
0,5 < 1
логарифмическая функция убывает
x > 4 или 1/8 ≤ х ≤ 1/2

О т в е т. [1/8;1/2]U (4;+ ∞ )