Задача 32658 ...

vk344135258

2019-01-11 21:48:30

Даны комплексные числа z1 и z2 в алгебраической форме. Требуется: 1) представить z1 и z2 в тригонометрической форме; 2) найти: а) z1^3 * z2^4; б) z1^5 / z2^3; в) корень четвертой степени из z2 и построить.

4. z1 = -1 - i; z2 = 2 + 2√3i

sova

2019-01-12 12:21:59

1)
z_(1)=-1-i

|z_(1)|=sqrt((-1)^2+(-1)^2)=sqrt(1+1)=sqrt(2)
argz_(1)=phi

sin(phi)=-1/|z_(1)|=-1/sqrt(2)
cos(phi)=x/|z_(1))=-1/sqrt(2)
phi=-3π/4

z_(1)=sqrt(2)*(cos(-3π/4)+i*sin(-3π/4))

Аналогично

|z_(2)|=sqrt(2^2+(2sqrt(3))^2)=sqrt(16)=4

argz_(2)=ψ

sinψ=y/|z_(2)|=2sqrt(3)/4=sqrt(3)/2
cosψ=x/|z_(2))=2/4=1/2
ψ=π/3

z_(2)=4*(cos(π/3)+i*sin(π/3))

Применяем формулу Муавра (cм. приложение)
a)
z^(3)_(1)=sqrt(2)^3(cos3*(-3π/4)+i*sin3*(-3π/4))=

=2sqrt(2)*(cos(-9π/4)+i*sin(-9π/4))=2sqrt(2)*(cos((-π/4)+i*sin(-π/4))=2-2*i

z^(4)_(2)=(4)^4*((cos4*(π/3)+i*sin4*(π/3))=
=256*(cos(4π/3)+i*sin(4π/3)=
=-128-128sqrt(3)*i
z^(3)_(1)*z^(4)_(2)=(2-2i*)(-128-128sqrt(3)*i)=
=-256+256*i-256sqrt(3)*i+256sqrt(3)*i^2=(-256sqrt(3)-256)+(256-256sqrt(3))*i

б)
z^(5)_(1)=(sqrt(2))^5(cos5*(-3π/4)+i*sin5*(-3π/4))=
=4sqrt(2)*(cos(-15π/4)+i*sin(-15π/4))=
=4sqrt(2)*(cos(-3π/4)+i*sin(-3π/4))=
=-4-4i

z^(3)_(2)=(4)^3*((cos3*(π/3)+i*sin3*(π/3))=
= 64*(cos(π)+i*sin(π))=-64


z^(5)_(1)/z^(3)_(2)=(-4-i*4))/(-64)=

=(1/16)+i*(1/16)



в)

z^(1/4)_(2)=(4)^(1/4)*cos(((π/3)/4)+(πk/2))+i*sin((((π/3)/4)+(πk/2))

k=0,1,2,3

при k=0
(z^(1/4)_(2))_(0)=sqrt(2)*(cos(π/12)+i*sin(π/12))

при k=1
(z^(1/4)_(2))_(1)=sqrt(2)*(cos(7π/12)+i*sin(7π/12))

при k=2
(z^(1/4)_(2))_(2)=sqrt(2)*(cos(13π/112)+i*sin(13π/12))

при k=3
(z^(1/4)_(2))_(2)=sqrt(2)*(cos(19π/12)+i*sin(19π/12))

4 числа и являются ответом.
Их расположение на рисунке:

Рисуем окружность радиуса sqrt(2)

Откладываем луч (π/12).
Пересечение окружности и луча - точка z_(o)

Откладываем луч (7π/12).
Пересечение окружности и луча - точка z_(1)

Откладываем луч (13π/12).
Пересечение окружности и луча - точка z_(2)

Откладываем луч (19π/12).
Пересечение окружности и луча - точка z_(3)