б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-Pi/3; Pi] (L 13)
sin^2 α =(1 - cos2α)/2.
(1 - сos4x)/2 + (1 - cos8x)/2= 1- cos(2x)/(cos3x)
-(cos4x)/2 - (cos8x)/2=-(cos2x)/(cos3x)
(cos4x+cos8x)*cos3x =2cos2x
По формуле
cosα + cos β = 2*cos((1/2)*( α + β)) * cos ((1/2)*( α - β )
2*cos6x * cos (-2x)= 2cos2x
В силу четности косинуса
cos(-2x)=cos2x
2*cos6x*cos2x*cos3x = 2*cos2x
2*cos6x*cos2x*cos3x - 2*cos2x =0
2cos2x*(cos6x*cos3x-1)=0
cos2x = 0 ⇒ 2x= (π/2) + π*n, n ∈ Z ⇒ [b] x = (π/4) + (π/2)*n, n ∈ Z [/b]
или
cos6x*cos3x - 1 = 0 ⇒ cos6x*cos3x = 1 ⇒
В силу ограниченности косинуса:
|cosα| ≤ 1 произведение косинусов равно 1, когда оба равны 1 или оба равны (-1):
{cos6x=1 ⇒ 6х=2π*k, k ∈ Z ⇒ х=(2π/6)*k, k ∈ Z
{cos3x=1 ⇒ 3x =2π*m, m ∈ Z ⇒ х=(2π/3)*m, m ∈ Z
Решение системы [b] х=(2π/3)*m, m ∈ Z [/b] (см. рис.1)
или
{cos6x=-1 ⇒ 6х=π+ 2π*k, k ∈ Z ⇒ х=(π/6)+(π/3)*k, k ∈ Z
{cos3x=-1 ⇒ 3x =π+ 2π*m, m ∈ Z ⇒ х=(π/3)+(2π/3)*m, m ∈ Z
Cистема не имеет решений. ( см. рис.2)
О т в е т. (π/4) + (π/2)*n; (2π/3)*m, m,n ∈ Z
б)
Указанному отрезку принадлежат корни:
(-π/4); (π/4); (3π/4)
0; 2π/3