log(x) (x+1)/(12x) > 2log((x+1)/12) x [L15]
{x>0; x ≠ 1
{(x+1)/12x > 0 ⇒ x ∈ (- ∞ ;-1) U (0; + ∞ )
{(x+1)/12 > 0 ⇒ x > -1
{(x+1)/12 ≠ 1 ⇒ x ≠ 11
{x>0
[b]ОДЗ: х ∈ (0;1)U(1;11) U (11; + ∞ )[/b]
По свойству логарифмов:
log_(x)(x+1)/(12x)=log_(x)((x+1)/12) +log_(x)(1/x)=log_(x)((x+1)/12)-1
Замена переменной
log_(x)(x+1)/12=t
log_((x+1)/12)x=1/t
Неравенство принимает вид:
t - 1 > 2/t
(t^2 - t - 2)/t > 0
(t-2)(t+1)/t > 0
_-__ (-1) __+__ (0) __-__ (2) __+__
-1 < t < 0 или t > 2
Обратная замена
-1 < log_(x)(x+1)/12 < 0 или log_(x) (x+1)/12 > 2
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
1)
-1 < log_(x)(x+1)/12 < 0
{log_(x) (x+1)/12 > log_(x) (1/х)⇒ (x-1)*(((x+1)/12) -(1/х)) >0
{log_(x)(x+1)/12 < log_(x) 1 ⇒ (x-1)*(((x+1)/12) - 1) < 0
{(x-1)*(x^2+x-12)/(12x) >0
{(x-1)(x-11)/12 < 0
{(x-1)*(x+4)(x-3)/x >0 x < -4 или 0 < x < 1 или х >3
{(x-1)(x-11) < 0 ⇒ 1 < x< 11
C учетом ОДЗ x ∈ (3;11)
2) log_(x)(x+1)/12 > 2
log_(x)(x+1)/12 > log_(x)x^2 ⇒ (x-1)*(((x+1)/12) - x^2)>0 ⇒
(x-1)(12x^2-x-1) < 0 D=1-4*12*(-1)=49
(x-1)*(4x+1)(3x-1)<0
_-__ (-1/4) __+__ (1/3) __-_ (1) __+__
С учетом ОДЗ
x ∈ (1/3;1)
О т в е т. (1/3;1) U(3;11)