5+2sqrt(6)=2+2*sqrt(2)*sqrt(3) + 3=(sqrt(2)+sqrt(3))^2
sqrt(5+2sqrt(6))=sqrt(2)+sqrt(3)
5-2sqrt(6)=2-2*sqrt(2)*sqrt(3) + 3=(sqrt(2)-sqrt(3))^2
sqrt(5-2sqrt(6))=|sqrt(2)-sqrt(3)|=sqrt(3)-sqrt(2)
Кроме того
(sqrt(3)+sqrt(2))*(sqrt(3)-sqrt(2))=3-2=1
Основания (sqrt(3)+sqrt(2)) и (sqrt(3)-sqrt(2)) взаимно обратны.
Обозначим
(sqrt(5+2sqrt(6)))^(sinx)=(sqrt(3)+sqrt(2))^(sinx) =t
t>0
Тогда
(sqrt(5-2sqrt(6)))^(sinx)=(sqrt(3)-sqrt(2))^(sinx)=1/t
[b] Уравнение принимает вид: [/b]
t+(1/t)=10/3
3t^2-10t+3=0
D=100-4*3*3=64
t_(1)=1/3 или t_(2)=3
Обратная замена
1)
(sqrt(3)+sqrt(2))^(sinx)=1/3
sinx=log_(sqrt(3)+sqrt(2))(1/3)
Так как
log_(sqrt(3)+sqrt(2))(1/3)=
=log_(sqrt(3)+sqrt(2))3^(-1)=
= -log_(sqrt(3)+sqrt(2))3=
=log_(sqrt(3)+sqrt(2))^(-1)3=
=log_(sqrt(3)-sqrt(2))^(-1)3> -1
|sinx|≤ 1
Уравнение не имеет корней.
2)
(sqrt(3)+sqrt(2))^(sinx)=3
sinx=log_(sqrt(3)+sqrt(2))3
или
x=(-1)^k arcsin(log_(sqrt(3)+sqrt(2))3)+πk, k ∈ Z
О т в е т. (-1)^k arcsin(log_(sqrt(3)+sqrt(2))3)+πk, k ∈ Z