AB/sin α =2R ⇒[b] AB=2R*sin α [/b]
ВС=АВ=2R*sin α
Проводим высоту равнобедренного треугольника ВК. Она одновременно и медиана и биссектриса.
АК=КС
Из прямоугольного треугольника АВК
ВК= AB*sin α =2R*sin α *sin α;
АК=AB*cos α =2R*sin α *cos α ⇒
АC=2АК=4R*sin α *cos α
По формуле:
r=S/p
S=(1/2)AC*BK=(2R*sin α *cos α)*(2R*sin α *sin α)=
=4R^2sin^3α*cosα;
p=(AB+BC+AC)/2=(2R*sin α+2R*sin α+4R*sin α *cos α)/2=
=2Rsinα (1+cos α )
r= (4R^2sin^3α*cosα)/(2Rsinα (1+cos α ))=
=2R*sin^2 α cos α /(1+cos α )=
=R*sin α *sin2 α /(1+cos α )
так как sin α/(1+cos α )=tg( α/2)
О т в е т. r=R*(sin2 α)*(tg( α/2))